Estimates - Number of regular magic squares

Estimates of the number of magic squares, cubes, ... (hypercubes)

Number of normal magic squares
Estimates using magic series

N(m) is the number of magic squares of order m.
For orders m ≥ 18 we may assume N(m) > 3 · E(m) and N(m) < C_~(m) · E(m). (See diagram on the C-factor page.)
Probably the correct value is nearer to the upper value.
For m ≤ 20 these estimates are less accurate than the approximations by Monte Carlo Backtracking.
For m > 100 the approximation formula of Henry Bottomley was used to determine the number of magic series.

3 · E(m) < N(m) < C_~(m) · E(m)

2.0 · 10⁵⁶⁶ < N(18) < 2.1 · 10⁵⁶⁶
7.6 · 10⁶⁵¹ < N(19) < 8.4 · 10⁶⁵¹
1.5 · 10⁷⁴⁴ < N(20) < 1.8 · 10⁷⁴⁴
2.1 · 10⁸⁴³ < N(21) < 2.6 · 10⁸⁴³
2.5 · 10⁹⁴⁹ < N(22) < 3.2 · 10⁹⁴⁹
2.9 · 10¹⁰⁶² < N(23) < 3.9 · 10¹⁰⁶²
4.1 · 10¹¹⁸² < N(24) < 5.9 · 10¹¹⁸²
8.7 · 10¹³⁰⁹ < N(25) < 1.3 · 10¹³¹⁰
3.2 · 10¹⁴⁴⁴ < N(26) < 4.9 · 10¹⁴⁴⁴
2.4 · 10¹⁵⁸⁶ < N(27) < 3.8 · 10¹⁵⁸⁶
4.4 · 10¹⁷³⁵ < N(28) < 7.2 · 10¹⁷³⁵
2.2 · 10¹⁸⁹² < N(29) < 3.8 · 10¹⁸⁹²
3.6 · 10²⁰⁵⁶ < N(30) < 6.5 · 10²⁰⁵⁶
2.2 · 10²²²⁸ < N(31) < 4.2 · 10²²²⁸
5.9 · 10²⁴⁰⁷ < N(32) < 1.1 · 10²⁴⁰⁸
7.6 · 10²⁵⁹⁴ < N(33) < 1.5 · 10²⁵⁹⁵
5.5 · 10²⁷⁸⁹ < N(34) < 1.1 · 10²⁷⁹⁰
2.5 · 10²⁹⁹² < N(35) < 5.2 · 10²⁹⁹²
7.9 · 10³²⁰² < N(36) < 1.7 · 10³²⁰³
2.0 · 10³⁴²¹ < N(37) < 4.5 · 10³⁴²¹
4.6 · 10³⁶⁴⁷ < N(38) < 1.1 · 10³⁶⁴⁸
1.0 · 10³⁸⁸² < N(39) < 2.5 · 10³⁸⁸²
2.6 · 10⁴¹²⁴ < N(40) < 6.4 · 10⁴¹²⁴
8.2 · 10⁴³⁷⁴ < N(41) < 2.0 · 10⁴³⁷⁵
3.5 · 10⁴⁶³³ < N(42) < 8.8 · 10⁴⁶³³
2.2 · 10⁴⁹⁰⁰ < N(43) < 5.8 · 10⁴⁹⁰⁰
2.4 · 10⁵¹⁷⁵ < N(44) < 6.3 · 10⁵¹⁷⁵
4.6 · 10⁵⁴⁵⁸ < N(45) < 1.2 · 10⁵⁴⁵⁹
1.8 · 10⁵⁷⁵⁰ < N(46) < 4.9 · 10⁵⁷⁵⁰
1.5 · 10⁶⁰⁵⁰ < N(47) < 4.3 · 10⁶⁰⁵⁰
3.1 · 10⁶³⁵⁸ < N(48) < 8.9 · 10⁶³⁵⁸
1.6 · 10⁶⁶⁷⁵ < N(49) < 4.8 · 10⁶⁶⁷⁵
2.5 · 10⁷⁰⁰⁰ < N(50) < 7.5 · 10⁷⁰⁰⁰
1.2 · 10⁷³³⁴ < N(51) < 3.5 · 10⁷³³⁴
1.8 · 10⁷⁶⁷⁶ < N(52) < 5.6 · 10⁷⁶⁷⁶
1.0 · 10⁸⁰²⁷ < N(53) < 3.2 · 10⁸⁰²⁷
2.2 · 10⁸³⁸⁶ < N(54) < 7.3 · 10⁸³⁸⁶
2.1 · 10⁸⁷⁵⁴ < N(55) < 7.0 · 10⁸⁷⁵⁴
9.0 · 10⁹¹³⁰ < N(56) < 3.0 · 10⁹¹³¹
1.9 · 10⁹⁵¹⁶ < N(57) < 6.5 · 10⁹⁵¹⁶
2.1 · 10⁹⁹¹⁰ < N(58) < 7.3 · 10⁹⁹¹⁰
1.3 · 10¹⁰³¹³ < N(59) < 4.7 · 10¹⁰³¹³
5.0 · 10¹⁰⁷²⁴ < N(60) < 1.8 · 10¹⁰⁷²⁵
1.2 · 10¹¹¹⁴⁵ < N(61) < 4.5 · 10¹¹¹⁴⁵
2.1 · 10¹¹⁵⁷⁴ < N(62) < 8.0 · 10¹¹⁵⁷⁴
2.7 · 10¹²⁰¹² < N(63) < 1.0 · 10¹²⁰¹³
2.8 · 10¹²⁴⁵⁹ < N(64) < 1.1 · 10¹²⁴⁶⁰
2.4 · 10¹²⁹¹⁵ < N(65) < 9.4 · 10¹²⁹¹⁵
1.9 · 10¹³³⁸⁰ < N(66) < 7.5 · 10¹³³⁸⁰
1.4 · 10¹³⁸⁵⁴ < N(67) < 5.7 · 10¹³⁸⁵⁴
1.1 · 10¹⁴³³⁷ < N(68) < 4.4 · 10¹⁴³³⁷
8.8 · 10¹⁴⁸²⁸ < N(69) < 3.7 · 10¹⁴⁸²⁹
8.4 · 10¹⁵³²⁹ < N(70) < 3.6 · 10¹⁵³³⁰
9.7 · 10¹⁵⁸³⁹ < N(71) < 4.2 · 10¹⁵⁸⁴⁰
1.5 · 10¹⁶³⁵⁹ < N(72) < 6.4 · 10¹⁶³⁵⁹
3.0 · 10¹⁶⁸⁸⁷ < N(73) < 1.3 · 10¹⁶⁸⁸⁸
8.9 · 10¹⁷⁴²⁴ < N(74) < 4.0 · 10¹⁷⁴²⁵
4.1 · 10¹⁷⁹⁷¹ < N(75) < 1.9 · 10¹⁷⁹⁷²
3.0 · 10¹⁸⁵²⁷ < N(76) < 1.4 · 10¹⁸⁵²⁸
3.7 · 10¹⁹⁰⁹² < N(77) < 1.8 · 10¹⁹⁰⁹³
8.5 · 10¹⁹⁶⁶⁶ < N(78) < 4.0 · 10¹⁹⁶⁶⁷
3.6 · 10²⁰²⁵⁰ < N(79) < 1.7 · 10²⁰²⁵¹
3.1 · 10²⁰⁸⁴³ < N(80) < 1.5 · 10²⁰⁸⁴⁴
5.5 · 10²¹⁴⁴⁵ < N(81) < 2.7 · 10²¹⁴⁴⁶
2.2 · 10²²⁰⁵⁷ < N(82) < 1.1 · 10²²⁰⁵⁸
2.0 · 10²²⁶⁷⁸ < N(83) < 1.0 · 10²²⁶⁷⁹
4.5 · 10²³³⁰⁸ < N(84) < 2.3 · 10²³³⁰⁹
2.6 · 10²³⁹⁴⁸ < N(85) < 1.3 · 10²³⁹⁴⁹
4.0 · 10²⁴⁵⁹⁷ < N(86) < 2.1 · 10²⁴⁵⁹⁸
1.7 · 10²⁵²⁵⁶ < N(87) < 9.2 · 10²⁵²⁵⁶
2.2 · 10²⁵⁹²⁴ < N(88) < 1.2 · 10²⁵⁹²⁵
8.8 · 10²⁶⁶⁰¹ < N(89) < 4.8 · 10²⁶⁶⁰²
1.1 · 10²⁷²⁸⁹ < N(90) < 6.2 · 10²⁷²⁸⁹
4.9 · 10²⁷⁹⁸⁵ < N(91) < 2.7 · 10²⁷⁹⁸⁶
7.6 · 10²⁸⁶⁹¹ < N(92) < 4.3 · 10²⁸⁶⁹²
4.3 · 10²⁹⁴⁰⁷ < N(93) < 2.5 · 10²⁹⁴⁰⁸
9.6 · 10³⁰¹³² < N(94) < 5.5 · 10³⁰¹³³
8.6 · 10³⁰⁸⁶⁷ < N(95) < 5.0 · 10³⁰⁸⁶⁸
3.2 · 10³¹⁶¹² < N(96) < 1.9 · 10³¹⁶¹³
5.3 · 10³²³⁶⁶ < N(97) < 3.2 · 10³²³⁶⁷
4.1 · 10³³¹³⁰ < N(98) < 2.4 · 10³³¹³¹
1.5 · 10³³⁹⁰⁴ < N(99) < 9.0 · 10³³⁹⁰⁴

2.7 · 10³⁴⁶⁸⁷ < N(100) < 1.6 · 10³⁴⁶⁸⁸
1.6 · 10⁴³⁰⁵⁷ < N(110) < 1.1 · 10⁴³⁰⁵⁸
1.4 · 10⁵²⁴¹⁵ < N(120) < 1.0 · 10⁵²⁴¹⁶
3.7 · 10⁶²⁷⁷⁶ < N(130) < 2.9 · 10⁶²⁷⁷⁷
3.3 · 10⁷⁴¹⁵⁵ < N(140) < 2.8 · 10⁷⁴¹⁵⁶
1.0 · 10⁸⁶⁵⁶⁵ < N(150) < 9.5 · 10⁸⁶⁵⁶⁵
1.4 · 10¹⁰⁰⁰¹⁷ < N(160) < 1.4 · 10¹⁰⁰⁰¹⁸
1.7 · 10¹¹⁴⁵²³ < N(170) < 1.8 · 10¹¹⁴⁵²⁴
7.6 · 10¹³⁰⁰⁹³ < N(180) < 8.4 · 10¹³⁰⁰⁹⁴
1.3 · 10¹⁴⁶⁷³⁹ < N(190) < 1.5 · 10¹⁴⁶⁷⁴⁰
2.3 · 10¹⁶⁴⁴⁶⁸ < N(200) < 2.9 · 10¹⁶⁴⁴⁶⁹
4.3 · 10¹⁸³²⁹⁰ < N(210) < 5.5 · 10¹⁸³²⁹¹
2.7 · 10²⁰³²¹⁴ < N(220) < 3.7 · 10²⁰³²¹⁵
8.1 · 10²²⁴²⁴⁷ < N(230) < 1.1 · 10²²⁴²⁴⁹
6.5 · 10²⁴⁶³⁹⁸ < N(240) < 9.7 · 10²⁴⁶³⁹⁹
3.9 · 10²⁶⁹⁶⁷⁴ < N(250) < 6.0 · 10²⁶⁹⁶⁷⁵
2.4 · 10²⁹⁴⁰⁸² < N(260) < 3.8 · 10²⁹⁴⁰⁸³
1.0 · 10³¹⁹⁶²⁹ < N(270) < 1.7 · 10³¹⁹⁶³⁰
1.2 · 10³⁴⁶³²¹ < N(280) < 2.0 · 10³⁴⁶³²²
8.5 · 10³⁷⁴¹⁶⁴ < N(290) < 1.5 · 10³⁷⁴¹⁶⁶
4.9 · 10⁴⁰³¹⁶⁶ < N(300) < 9.1 · 10⁴⁰³¹⁶⁷
1.9 · 10⁴³³³³² < N(310) < 3.7 · 10⁴³³³³³
2.6 · 10⁴⁶⁴⁶⁶⁷ < N(320) < 5.2 · 10⁴⁶⁴⁶⁶⁸
4.4 · 10⁴⁹⁷¹⁷⁷ < N(330) < 8.9 · 10⁴⁹⁷¹⁷⁸
2.1 · 10⁵³⁰⁸⁶⁸ < N(340) < 4.3 · 10⁵³⁰⁸⁶⁹
4.5 · 10⁵⁶⁵⁷⁴⁴ < N(350) < 9.6 · 10⁵⁶⁵⁷⁴⁵
4.9 · 10⁶⁰¹⁸¹¹ < N(360) < 1.1 · 10⁶⁰¹⁸¹³
2.3 · 10⁶³⁹⁰⁷⁴ < N(370) < 5.2 · 10⁶³⁹⁰⁷⁵
2.7 · 10⁶⁷⁷⁵³⁷ < N(380) < 6.3 · 10⁶⁷⁷⁵³⁸
3.5 · 10⁷¹⁷²⁰⁵ < N(390) < 8.4 · 10⁷¹⁷²⁰⁶
1.7 · 10⁷⁵⁸⁰⁸³ < N(400) < 4.3 · 10⁷⁵⁸⁰⁸⁴
8.4 · 10⁸⁰⁰¹⁷⁴ < N(410) < 2.1 · 10⁸⁰⁰¹⁷⁶
7.9 · 10⁸⁴³⁴⁸⁴ < N(420) < 2.1 · 10⁸⁴³⁴⁸⁶
2.3 · 10⁸⁸⁸⁰¹⁷ < N(430) < 6.2 · 10⁸⁸⁸⁰¹⁸
2.7 · 10⁹³³⁷⁷⁶ < N(440) < 7.3 · 10⁹³³⁷⁷⁷
1.2 · 10⁹⁸⁰⁷⁶⁶ < N(450) < 3.4 · 10⁹⁸⁰⁷⁶⁷
1.8 · 10^1028990 < N(460) < 5.1 · 10^1028991
5.9 · 10^1078452 < N(470) < 1.7 · 10^1078454
2.4 · 10^1129157 < N(480) < 7.0 · 10^1129158
5.4 · 10^1181107 < N(490) < 1.6 · 10^1181109
2.7 · 10^1234307 < N(500) < 8.3 · 10^1234308
1.0 · 10^1288760 < N(510) < 3.2 · 10^1288761
7.7 · 10^1344468 < N(520) < 2.5 · 10^1344470
2.9 · 10^1401437 < N(530) < 9.5 · 10^1401438
1.1 · 10^1459669 < N(540) < 3.8 · 10^1459670
8.3 · 10^1519166 < N(550) < 2.8 · 10^1519168
1.7 · 10^1579934 < N(560) < 6.0 · 10^1579935
1.5 · 10^1641974 < N(570) < 5.1 · 10^1641975
5.9 · 10^1705289 < N(580) < 2.1 · 10^1705291
1.2 · 10^1769884 < N(590) < 4.4 · 10^1769885
1.2 · 10^1835760 < N(600) < 4.5 · 10^1835761
5.1 · 10^1902920 < N(610) < 1.9 · 10^1902922
6.4 · 10^1971368 < N(620) < 2.5 · 10^1971370
1.7 · 10^2041107 < N(630) < 6.6 · 10^2041108
5.8 · 10^2112138 < N(640) < 2.3 · 10^2112140
1.4 · 10^2184466 < N(650) < 5.5 · 10^2184467
1.2 · 10^2258092 < N(660) < 4.7 · 10^2258093
1.5 · 10^2333019 < N(670) < 6.4 · 10^2333020
1.4 · 10^2409250 < N(680) < 5.7 · 10^2409251
3.0 · 10^2486787 < N(690) < 1.3 · 10^2486789
5.8 · 10^2565633 < N(700) < 2.5 · 10^2565635
3.1 · 10^2645791 < N(710) < 1.4 · 10^2645793
1.4 · 10^2727263 < N(720) < 6.0 · 10^2727264
1.3 · 10^2810051 < N(730) < 5.9 · 10^2810052
7.1 · 10^2894157 < N(740) < 3.2 · 10^2894159
5.0 · 10^2979585 < N(750) < 2.3 · 10^2979587
9.9 · 10^3066336 < N(760) < 4.6 · 10^3066338
1.1 · 10^3154414 < N(770) < 5.3 · 10^3154415
1.4 · 10^3243819 < N(780) < 6.5 · 10^3243820
3.1 · 10^3334554 < N(790) < 1.5 · 10^3334556
2.2 · 10^3426622 < N(800) < 1.1 · 10^3426624
7.3 · 10^3520024 < N(810) < 3.7 · 10^3520026
1.7 · 10^3614764 < N(820) < 8.7 · 10^3614765
3.8 · 10^3710842 < N(830) < 1.9 · 10^3710844
1.0 · 10^3808262 < N(840) < 5.3 · 10^3808263
4.1 · 10^3907024 < N(850) < 2.1 · 10^3907026
2.8 · 10^4007132 < N(860) < 1.5 · 10^4007134
3.4 · 10^4108587 < N(870) < 1.8 · 10^4108589
7.8 · 10^4211391 < N(880) < 4.3 · 10^4211393
3.3 · 10^4315547 < N(890) < 1.8 · 10^4315549
2.4 · 10^4421056 < N(900) < 1.3 · 10^4421058
2.5 · 10^4527920 < N(910) < 1.4 · 10^4527922
3.3 · 10^4636141 < N(920) < 1.9 · 10^4636143
4.3 · 10^4745721 < N(930) < 2.5 · 10^4745723
4.3 · 10^4856662 < N(940) < 2.5 · 10^4856664
2.3 · 10^4968966 < N(950) < 1.3 · 10^4968968
4.6 · 10^5082634 < N(960) < 2.7 · 10^5082636
2.3 · 10^5197669 < N(970) < 1.4 · 10^5197671
1.9 · 10^5314072 < N(980) < 1.1 · 10^5314074
1.4 · 10^5431845 < N(990) < 8.7 · 10^5431846

6.3 · 10^5550989 < N(1000) < 3.9 · 10^5550991
2.1 · 10^24638617 < N(2000) < 2.6 · 10^24638619
1.5 · 10^58628222 < N(3000) < 2.8 · 10^58628224
5.0 · 10^108246294 < N(4000) < 1.2 · 10^108246297
8.0 · 10^174000072 < N(5000) < 2.5 · 10^174000075
1.6 · 10^256280634 < N(6000) < 5.9 · 10^256280636
1.0 · 10^355406571 < N(7000) < 4.4 · 10^355406573
1.2 · 10^471646800 < N(8000) < 6.0 · 10^471646802
6.7 · 10^605234025 < N(9000) < 3.7 · 10^605234028
1.3 · 10^756373366 < N(10000) < 7.8 · 10^756373368

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