Magic Series
 Exact number of series up to order 1000

N(m) is the number of magic series for squares of order m.

I calculated the first 32 terms in September 2002 and the terms up to order 54 in February 2005.
The data confirmed exactly Henry Bottomley's list (first 36 terms) from February 2002.

In April 2006 Robert Gerbicz from Hungary extended the table up to order 75.
The next series up to order 150 were calculated with his C-program in May 2006.
This was done by a Pentium 4 computer at 3,2 GHz in less than 38 hours. Download magic-series-150.txt.
On the homepage of Robert Gerbicz (external link) you can download his program and its source code.

In March 2013 Dirk Kinnaes from Belgium added N(200).
He points out that the numbers of series are coefficients of certain polyomials and develops an algorithm to calculate these coefficients.
This algorithm does not use recurrence relations and is able to calculate N(200) in a few minutes.
In May 2013 using multitasking on a computer with 4 processor cores at 4,3 GHz we got
N(200) in about 4 minutes, N(500) in less than 7 hours and N(1000) in about 9 days.

The table shows 100 digits per line.

```
N(001) = 1
N(002) = 2
N(003) = 8
N(004) = 86
N(005) = 1394
N(006) = 32134
N(007) = 957332
N(008) = 35154340
N(009) = 1537408202
N(010) = 78132541528
N(011) = 4528684996756
N(012) = 295011186006282
N(013) = 21345627856836734
N(014) = 1698954263159544138
N(015) = 147553846727480002824
N(016) = 13888244935445960871352
N(017) = 1408407905312396429259944
N(018) = 153105374581396386625831530
N(019) = 17762616557326928950637660912
N(020) = 2190684864446863915195866500356
N(021) = 286221079001041327793634043938470
N(022) = 39493409270082248457567923104977298
N(023) = 5739019677324553608481368828138484550
N(024) = 876085202984795348523051418634128837562
N(025) = 140170526450793924490478768121814869629364
N(026) = 23456461153390020211328759135664689342531028
N(027) = 4097641100787806775815644958425464097739938654
N(028) = 745947846718066619823209422870621836022069177558
N(029) = 141280774936453250057100993123755087750662375504136
N(030) = 27797610141981037322555479186167243505129073097363174
N(031) = 5673858009208148397135070998960708533898456476297052346
N(032) = 1199872454897380013845796517790093662180055383301098878668
N(033) = 262575529501655719245725510596713937964488091566840353740484
N(034) = 59394620657532913580290882324816355506080733247883160869518486
N(035) = 13872534241478210358349096341203128450357241660871429860873721318
N(036) = 3342339793871651580291139212736788281034702731706602993356140483430
N(037) = 829903124730301824534100782000252428093443042476218915167863344505624
N(038) = 212180526723512434959569283952612901326842006643822802520129478187703310
N(039) = 55811761533453826448160348458093846602325730843771269028435285696173068748
N(040) = 15092058038993808470465292089554885497035514397325362604222374979475304527104
N(041) = 4192299452984998714826933108990733030239105820136371335396656630419438700233950
N(042) = 1195452957914568544628242649935060977711193839443701120065551521757686130217168310
N(043) = 349703327366038106451806189448493883707745766367285943970346194639748499973957489470
N(044) = 104876728778502004600579036850358276669322829223614763039555119279022062866348862297726
N(045) = 32226183819233545460292523522928860395159650049695736430464184295089702757940842127865438
N(046) = 10140038978425592678325746748761731863114912311777338653125043350259369036716197168456287882
N(047) = 3265378044623296518834679920580633446899282207687505869976099034430312659055869257607567915900
N(048) = 1075630788138269465981814896681396671604934730901082228280905314561784211289839797171807321262148
N(049) = 362252766799900908598334007161211658938459886542609969146365599002286304782120439993106594686146940
N(050) = 1246726254930126798994339653070136223275728143556600409746468793788357544001305121624877259760238131
94
N(055) = 8204319016856802872224959697468890897015396759059409307585146180380758672437013190817825665928677464
28377204201570
N(060) = 8727381346173209380507814257213598461158057962387617647516367624029723768801674284520086198589322714
395487766197652301508509062
N(065) = 1438901281644996396484972728647137998722730968195432590846210615500055470180491245824723976526326363
75783413806614135004981875912694300427084
N(070) = 3549434080884795867703224575520918797050811167628256331092186912766189884710319029663747610307356921
802518159031311592706877284453641736848915479559501516
N(075) = 1271237918477056222549279110532600968727344863796234215189128136784067545626488775061350247693454930
11028070122181306097605804009549129465093519782135024711963338698416
N(080) = 6441709224111181372772492700571117249960409506494809358842424950303225006082843491228356366400784408
003775766740268030494476173096295583212292980131916805131211400989793095298401606
N(085) = 4515497963502607093160754455694293373599245048366961940962231683746601259284692932054650171233918422
11177512524675594645286461768172468017512404295615763932682934993536560172121524506906087763802
N(090) = 4292940253675545029319893178508178404286284442682672892594379583700189983030051516287734150775053566
8749825992745338180477797247343352379101075606496925413627177703697368883714307802867474073902008057
923072254
N(095) = 5439372652289253585979247474041204206891841117301471623450666733527128114942080497210659457812938784
6935602607729955762795586498998658597950776015400218501564431766782444300615974296669039115833010436
90449685572393282683876
N(100) = 9043007368088944265747933022406939112612349423987481545280521717243052790455834598610113578135562607
4636685064666906216989017828082488599537548515639992195899179625095430860301179919284207143035966894
6052264146938445899732873114858199920

N(110) = 5346122695856051991639964224598156933374992256981181762552316567222142736700243501414431217182631819
7367219996899142010624783697759801920987764049811287789678271106744414050294373351647306821401673932
347975791425963221496529268816289771726277162978117383231591978312

N(120) = 8053328493355061882402235150767037212337963381104718645942124195620060269469759719441602972097979059
8112834089705889991862604515968185310172613656742891105721774060272499682761291295048288390573831640
69338282580368595956507680638393341402971582043156502707885196078683467655490271360986692367602

N(130) = 2853340645520430635239126695521504053594272237741996783055379556298776858791296545425955543290553072
0371919753963806366368549997339499342979270324951028295349771172975612298555533902072688146926960073
5013507768024457993365184629850462699120831687793748022668956078936899698071107086361487245427400538
3057383028875531389824962

N(140) = 2222750857646342247682189333179767311247111860563319984534643197725654457986032608280290757944533848
3322740086660726000841218494024767595825437592851937189906693274076408800879615430924491493727076220
4746335793651842416749141913437579998590439890014093697490184975917770295736857876083800356289887536
5856479539505268787356489851864674124008753506836387438

N(150) = 3594065736197967463051607893056949270313589479086605181866625126891461612683461344969886871753815723
7017302893153326380721165047844862184041307546540221221323330413309149241378499368983266469728154741
0175324417530860607098867318245088303263676564830776779052005586491729885982346404787581521990848367
1621851839087276882571013209614470773598674707019415835356085458053404409033294190930

N(200) = 4868226474829922115061288433677902074368647048075110612017303131909136350381859587379561361431162744
2164431589187935289981468772962243313872601755604728014149428549983410118971947247032506362856596493
7692621191896407537979438627386108502325300051134932594436272133718133299708123318564656837655909897
4701291863183331179310554076263869164783551409989508998881495837339014320560948724254789892301707318
5691756848269064119470740921969885958299706376530715271893607669549548678924444946251917625627527678
8326400764788196287233009042444212630714

N(250) = 2455317741949008196076459958414930471470463482980913301907056196564586914095912855346626979341970509
7018389444505139039540109114916986361784608007768420902220425434234504033123965621106938624915059251
9309234716233069664922070289410212683656730044165794811967273467822570556957087230578495403019253075
0339980510729305063966393840025002496996263605365401634909417834691010471510662135262374686310988611
5273391640691109393967651336754361260445380953820698937739815946653209530346423788087640104919677251
9876445154479512726645252647448934201689330041890205726165800164588994636385161058882434504859107139
3183947356483786404420931639751670971899694280552448474637025238347515670913309188471369117115475882
6

N(300) = 3299809085104007492909527365106479255036772567341293281698843415301899948116636572918462541380985841
3633673651603269541263609111248573493868882074549820242424661794176447689915162755993966550936872111
1871082255232507920495144161164854204491984099658903868932487293229781777427247527910092216004019783
0122301856975151899232399392735958590961392661327063203350394205721131131324047879746091492223639060
3036937536761576414282960641043541116105560454997021287846190225073416507425554958543579816710698785
6230638709474364618834407359057264120828482336763347159135794491541885220634560114428752843418706236
9633672144932508024111145437430315997750511899598122763143282104341365272754466644650447141036597088
5696151119510024523516554370028478484263840663817762542188919260563431359907356655880235256011110724
475848677526620967676827329149960787256010604886078381289099742260

N(350) = 2087794255692093461477176648095394649866827004031296756561845642981163063977900132093121161756843963
1412886455218442594943002922244716042964739882360228291689399396320052502057490048899367488822473352
2111429031796244197166043769462723750894610110802293461660341174123876723670616462248333753024906305
2158114421431579129723886200629084615542290985523171867768240426216671479523233715465662327225379320
7847347758934071670066866040374489497666590074917567419118334449502343318131539857664496105940587017
9069672539065876856942572300714777984218456450050270776039309663373841234471182801652063347399093092
0291072713437098504234266193872083499843428871832371077282113810009546082769562845694971612036862778
3202177572012315419440086943079377048219515355107567430805423758879393033835602037979247056470702876
2782942505618383992430703078753036107039743951943077754408867975083202292614807880259745580341244805
5907789716901181434956595412940904980012486926248370845084694756313687788290174428710361661890044843
9773264273005886150382722602630530

N(400) = 1821897693782408857429639265686038370367661280799647660893095199370834371511893255856001975941580201
8777170763388651583690812796891203072369060191467072995462644595645746115498548271544943081759530945
1772399610141389140934470224016502669857719913420423455168143692144257804275285471925668289938011600
3190262349353093165081003485303888609271415094423707581981465144964151211256720496618653832144758295
2858418716984177623399846867710766683253913967447987390098845358257602894256817693512351751487613196
7275351257042919599921142677551344902527052299764476020403490059779308425968710616006551991440884181
8564307076763768138736957146547168005555930994635327044898895824318464287432517125279291796620950852
8459110779749629743202476913715615831477994258561949625646881922696674624372588866129776258501126663
9925453112176051425504728705025126518017116911054006978964677783459517383078827199548279436342755129
3899798898643355080883157197221330399409080829795506356652429838365197824555891608534369812602999730
4100690321294902362990873189193191866411173027545429831964495282657702667367606082807503346476409149
2954540909984020178073530223972908091827708932704099023858177253714952155612293932046430542087683037
9458256

N(450) = 8777136644388052220757616982292285047727245637677095148962764679350529234487770576573217965976614203
9196985046126866818221041861042068450880902309162956985884815592975516376491670430266683487651218914
4099021700488483402014180020934770363414874561027122261666334336294436905170825994792661182519437386
9210595852151651212108712432807382756966519164608435851535276238116986058240674818420117375217968518
3679571813140015835324914846771531975545759811702301877866220439889814288379719254300593244068275059
8943405640699579855959086027151435558059276451968645968655782488169044154973802974116153735783380032
6476199997558154103236577800472743079900819820909375904621703993723929847634112537848602188184310977
2025872521015462896975695492593608314340321508785975962057543753930875338018514329644653965802545894
4261522674114268935428222915701154177566585524170675740447549371089679627060386663782447707516124675
6999594270152230561048417505323887779552757547912089336981902797536585650675633997802906040020136861
1163552461947785025152916435728407872291182053563777809849589187909636085790961294242576964060709307
3729709231876833417263662368320890033292404912229940411209747172242100151219244747571567912824548997
1732602101181271211543672581220928416113754662586768629186299308806686445269773530564569797260786054
009667952592220631890715691424574326407291073488235786618799899432770065861100060

N(500) = 1148464537336178111008305193140550433014016767206440422624495916292043771655500745826034416078089417
9947790177718168592401016752951433149803933273754537172842903325606556948685971356327624279144516922
3310429787697295218605211152737208349215108261902095124586613099704609446173775996626553454183500530
5485052560032910720233009164742596086287655105617753839492612739551031222126210333252504200063134989
6874240369593067651412600134296612114395398404190279399954842513622066328264142036193185416051565740
0519006772264455079967285352136176950935165480271753284070761367993184003470703840033690560951772642
0393077302185596000039881876184686575349845389102773817917290542591032371875072780641258172706315989
7396473811740216537713885069457664171629026501259919817936160388636332238728084519391337410017513450
9402460211147791919686458769473136866908508266269495758788961139183320415773787264331115260397841462
4881827053567094870546330955026676803664512316015321615215944095709649526299077791773765894185417698
7095573002809309895461955870344150086722417507538283906321756715051007863433075805861324854524370225
6947868215920067492269306124362939147011279683409250392811959058967296407242452520628726473163694411
0332909402053658345392168416985677626929966603145212616896446661290762195367085210107666606671147750
8281938136988635865747958115101822482282064327987415398321438267605575841347696604425685665388177943
7941158324944543440428427374297156358995270332539673733114947745549233283259969889095457899390473519
46735429516640864770333383338302563089076539398815727519414

N(600) = 4546563919954581300797739355533168255555883512824062737683099000798640913443326645100630771705149377
5473828636104733159359216620695253884275971952612637881287987511676406718089291861765671713825706554
7435571053861427331737433873616058467201309769763656952034835904415806564987502799828185141233301516
1721837926111360340355043788875409447325145978146026780362105704958439599827743825232886272569484159
7826613093032075351230930163619257510155901924856538778407349979626459510267213761783616043428465174
0702785393423509355236386346585417201614128346426594412441836479138158665660576584418598202026504019
6188907098631773146869494107636566443139401343546612957792703890281282129089662898962271304863052992
0452432618130723184809701002527277615459406649703126886175228752764107079848537967507955156111722137
0472332996768631556620012300443502065514657314634137009693325596425940466426499062262211506548873232
2895009382936970786166954697542381208279462158553535368103998016307406974068898562039034047805853608
3985511551123240299964259039365186550183053602443803064743265531372223965788207915551518722811913521
9063662650409681023532035471685748025123824970957253705215915861331206054401660102931721774625840324
0291241810175067058676479453662520970460620172283962888056755574794545160951286827477391190689237498
8145032866783197518072951427256353001343857394521809930186040065758146996721588187370662618386100530
2180971730857279886736209646742975901047807374111301693969593236763825387550843311208397787929871514
2278272382768462094998751417804927629830654973208282972081285848554348313221824532551286944868754457
8679035012653492227630172619408386944665651378367521043607364047415211606546765427581426951379009012
3453564046768490820083354614038372502740925737963558898985942544744501786832329637364881219293011926
9881175406963199564805580637129368644292929759781382432187254252302764287618161742674522699032176038
2701289416653482830

N(700) = 3665277782059811169693790168704810847958456332764602637638515899331928384018043268306675299369914607
5757975316653865086704069964231436288236020624876609621020386099214551421988383218477209413550081104
0346593807865022755085617633997859487501386777105340413505786993638507252759793607032266948137343700
4005320671249639178063944227687227291593802152892451933257837148571983805555934056462406215492587538
8447130163427848368608963053517380907678049261986053618355351065863240813620464050240110343615572496
4964258225758875255512207755972608713634026242374131196461646423974165224194558739911671315770656259
1893504685397521044630077766785307976111263784121367307941753089524062082779688319244507400863736236
6670589778468316268414850283232786760335737884660740584370297857994507041535106577313901144537463921
7496519248506621179098108685464503492311161337049182782443161187898870101300031668026312662379782336
5927146992695252956630582448582273766531010203925009639390623217105109151189429344378518911872263820
8873618349403532823305732829304753478302547810703997293488521084584514668616557267680346252856515588
1664828644165767283159389199020077196893592458331621652547737114045106289740987474033805655321122021
9040961112066526730192696861014122902729209755154899790228009973400826042533782772283735433561579404
2350533368783967706901514786250477310993618779169146143153452719852621979018772857727133934236216664
5974969577081572342088604141291218900576225092382205179628355516058672624892768120717182004346172777
8485275674171053398812672364306413153252560367758505392324994781577755508775281441920581481602590309
6941654991294035535247079556528150338225551780584104570950213571252219857458811265063772338327992996
7572751406594093447364224415778347299183971221976188296214345987002498167365664290485096833272450022
1584324496462418376660160249559220004482145179221956864138846661726751785535746372806474762404288178
5047250049403364308291918763573450196055291940736566179775341999468779982573178527421146432730449550
3923199189357744848753872739471625447175267695970366216565071372683469840961738484277427422180026700
8004861282728102221121437715985911687006589156290141371633867415602015134692641864284722637713575793
479823843489175522988019441776181227749515195114534505255623673152798200109934708595342
```
``` N(1000) = 6591829225401463988322976760801029643862247771312890552263126726041296317969802693181398327185872287
4395862158534357024902189581478831298115499373328228386098877662422501793866176230080971226646846674
4609707573325732496400952690615915493421799352835726121160528118278115245171838410290297309002270914
6970658873907964014095998152016941856794965175297727162368766057286538798633796204072151014583278076
4387381258576032831768692305068200390843391889689036248667616308512994680118124986984320256632827695
2183350404828659923156543563090801477278439474692099210317111170104167708034057503434229556207546101
8334076967987488838077555381593516859592803455493591711962178963871391437501161375633531728846838782
5428832569387736266669884698345440867512795242451087196425990353736610296606199208214111979955779856
2553765953086732409858562868173586028752125706840326879746018885166419766406620135090036768951052999
4727659571283492966843785413804180708991926100884608743913869026109285504649401995059882825634730949
8297834914949895456639054240189422213784135864512259910740637942148658030571885014358717369768333403
0933599806906665200794869343227675837502074896368742595677347960791103760834920489585360239081500442
1966198038740735382748782943794654470075818287227324736843029438575149994789289536015084916622131725
3329554109303940016505529492103611534769423975291786231602074316742627947867846761740560755085392207
4989640785946953318478036649760011257406306220140042202753813355892442415937402759131231431895563232
1970970214057539551142362336169622198032577717461922879747740242537995636550379294160623044284021017
7660013847589379809657391327508130020841516074038614958392438144819995626979337389475313695443057661
7272991735463925190436092915884294403779384940034020884646557230428231908814426630525979363051182760
7734015993164569452949576815456331666623103836700517123836483024377523463555875321600255035174746635
9870052287960897935097750280707725404738155241087828405695461541507608848679881405703207633508192735
8054653484666688124700052928708528120056748678692534924034492168768099814622628478466906854374750607
5771939798550201830624442071934469018932721149486463333261881867013302373471335527768283749053509824
6473653466969743467982858761818603479619969410295334788564978655017220044936696812019149567116243100
9266834287205866345444147696607293849416973039556559233973961440395751424573810857418763411288644254
9163245391922474500488274728319342584105724079352309119206658296524491652766961719463433447492394859
1092957073482400948970754713433370979203716103693630942871063933967219425536552214847568283946774822
9883485113602545690863330221946394637991841401598707994101199846242589209511038606197234211217603113
5851158124603634578726281340922383896665440646725775399717836880282963036418960287889323822143697495
3353850851477085979039611477844629659461266150481780907121437972623645028641019718397127394613125494
9453600223927048824030711555765188378651784844499331881981008762367695748373996948220557162543069930
8411967645269930775515992009589715654366138958613662658329118423283270420503767390185984409259970567
0520502586616300121890150390105109634272451768036752054282043717986527460790646108733965479464167722
6044427793846386153992832294382864210601472956758977354132734206703257811117503924720429542252902210
6090592449213299539282862838071281153868554492270806667419653042003291290185418049218457017793415630
0395803477582982638400562

```